Variétés spéciales
Points rationnels, courbes rationnelles et automorphismes des variétés spéciales
Fellows Fribourg-Strasbourg : Carlo Gasbarri, Stefan Kebekus et Gianluca Pacienza
Post-doctorants : Lionel Darondeau, Sergei Kovalenko et Tommaso Matteini
L’attrait qu’exercent les équations diophantiennes sur les mathématiciens depuis l’Antiquité grecque s’est renouvelé au XXe siècle avec leur géométrisation. Dans le cas des courbes (qui correspondent globalement aux équations diophantiennes en deux variables), un invariant géométrique, la caractéristique d'Euler, décrit de façon qualitative les solutions dans l'anneau des entiers d'un corps de nombres (c’est-à-dire l'ensemble des nombres intégrés) :
- si elle est négative, les solutions finissent par être denses (quitte à autoriser une extension de grand degré du corps de base) et nombreuses ;
- les solutions finissent également par être denses si elle est nulle, mais elles sont alors bien moins nombreuses (croissance logarithmique) ;
- en revanche, lorsque la caractéristique d'Euler est strictement positive, il n’y a qu’un nombre fini de solutions.
La caractéristique d'Euler différencie également l'analyse sur ces courbes : elle explique l'existence ou la non-existence de fonctions holomorphes du plan complexe dans la surface de Riemann correspondante. Toutes ces questions sur les courbes montrent une importante interaction entre arithmétique, géométrie et analyse des courbes et elles ont été complètement comprises au cours des XIXe et XXe siècles (théorèmes de Mordell-Weil, Siegel, Faltings, théorème de Picard et théorie de Nevanlinna). Les problèmes en dimensions supérieures font l'objet d'une intense activité. Si les résultats sont plus rares, on dispose d'une philosophie raisonnable : les conjectures de Lang-Vojta, Campana et Green Griffiths. Toutefois le tableau n'est encore que largement conjectural : par exemple, malgré d'importants résultats partiels, aucun des cas de la trichromie évoquée ci-dessus n'est résolu dans le cas général. Au vu de l'état actuel des connaissances, les géomètres ont divisé leurs forces depuis de nombreuses années, certains étudiant l'arithmétique, d'autres la géométrie des courbes rationnelles et d’autres encore la géométrie et la classification des variétés.
Ce projet ambitionne de rassembler quelques mathématiciens, tous géomètres algébristes dont les intérêts et les compétences recouvrent ces trois aspects, réunis par la même philosophie et les mêmes besoins techniques.
Les grands thèmes du projet sont :
- l'arithmétique des variétés de dimension supérieure sur les corps des fonctions ;
- la géométrie des courbes rationnelles dans des variétés de dimension supérieure et leur relations avec la classification ;
- la géométrie des variétés affines et ses relations avec les problèmes de classification.
