Séminaire Fellows - La dualité et la stabilité, deux principes unificateurs en mathématiques
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Quel est le rapport entre les solides parfaits de Platon et la transformée de Fourier ? Les tourbillons océaniques et les nanofils magnétiques ont-ils quelque chose en commun ? Les Fellows USIAS Raphaël Côte et Alexandru Oancea, tous deux membres de l'Institut de recherche mathématique avancée (IRMA) de l'université de Strasbourg, entraîneront le public dans un voyage mathématique afin d'expliquer et d'illustrer les concepts fondamentaux de dualité et de stabilité.
Exemples de dualité en mathématiques, avec applications
Par Alexandru Oancea (Fellow 2021)
En mathématiques, une dualité est une correspondance entre des objets d'un certain type A et des objets d'un autre type B. La dualité est un principe unificateur en mathématiques, et certaines dualités sont plus intéressantes que d'autres.
La correspondance entre les droites et les plans dans l'espace euclidien à trois dimensions donnée par la relation d'orthogonalité est le prototype des dualités de nature géométrique. Une variante un peu plus sophistiquée de cette dualité nous amène aux cinq solides platoniciens : le cube et l'octaèdre sont duals l'un de l'autre, tout comme l'icosaèdre et le dodécaèdre, tandis que le tétraèdre est autodual. La transformée de Fourier est le prototype des dualités de nature analytique. Elle consiste à représenter une fonction comme somme d'une série trigonométrique, phénomène qui se trouve au cœur de l'analyse moderne et de l'ingénierie.
La plupart des dualités supposent, sous une forme ou une autre, que la dimension de l'espace ambiante est finie. Le projet de recherche « Applications de la dualité de Poincaré en topologie symplectique » avait pour objectif d'explorer un nouvel exemple de dualité en dimension infinie.
Dynamique et formation de motifs dans le ferromagnétisme
Par Raphaël Côte (Fellow 2022)
La magnétisation se produit dans un matériau lorsque les spins attachés à ses particules partagent une orientation commune ; le ferromagnétisme est la capacité que possèdent certains matériaux de maintenir une magnétisation induite par un champ magnétique, éventuellement externe. Il s’agit du phénomène standard que l'on peut observer dans les aimants solides du quotidien (comme les aimants de réfrigérateur), et il est remarquablement stable à basse température.
Au cours de la présentation, je montrerai quelques simulations numériques sur l'évolution de la magnétisation lorsque la géométrie entre en jeu (pas nécessairement dans un matériau solide) : chaînes de spins, nanofils, etc. Je décrirai également, à titre de comparaison, ce que les mathématiques peuvent prouver à ce sujet.
Le projet de recherche USIAS de Raphaël Côte s’intitulait « Dynamique et contrôle en micromagnétisme ».
