Université de Strasbourg

Variétés spéciales

Points rationnels, courbes rationnelles et automorphismes des variétés spéciales

Fellows Fribourg-Strasbourg : Carlo Gasbarri, Stefan Kebekus et Gianluca Pacienza

L’attrait qu’exercent les équations diophantiennes sur les mathématiciens depuis l’Antiquité grecque s’est renouvelé au xxe siècle avec leur géométrisation. Dans le cas des courbes (qui en gros correspond aux équations diophantiennes en deux variables), uni invariant géométrique, la caractéristique d'Euler, décrit, de façon qualitative, les solutions dans l'anneau des entiers d'un corps de nombres (i.e. l'ensemble des nombres intégrés) :

  • Si elle est négative, les solutions finissent par être denses (quitte a' autoriser une extension de grand degré du corps de base) et nombreuses.
  • Les solutions finissent encore par être dense si elle est nulle, mais elles sont alors bien moins nombreuses (croissance logarithmique)
  • En revanche, lorsque la caractéristique d'Euler est strictement positive, il n y a que un nombre fini de solutions.

La caractéristique d'Euler différencie aussi l'analyse sur ces courbes: elle explique l'existence ou la non existence de fonctions holomorphes du plan complexe dans la Surface de Riemann correspondante. Toutes ces questions sur les courbes montrent une importante interaction entre arithmétique, géométrie et analyse sur les courbes et elles ont été complètement comprises dans le XIX et XX siècle (théorèmes de Mordell-Weil, Siegel, Faltings et théorème de Picard et théorie de Nevanlinna). Les problèmes en dimension supérieures font l'objet d'une intense activité'. SI les résultats sont plus rares, on dispose d'une philosophie raisonnable: les conjectures de Lang-Vojta, Campana et Green Griffiths. Toutefois le tableau n'est encore que largement conjectural: par exemple, malgré d'importants résultats partiels, aucun des cas de la trichromie évoquée ci dessus n'est résolu dans le cas général. Vu l'état actuel des connaissances, les géomètres ont divisé leurs forces depuis de nombreuses années, certains étudiant l'arithmétique, d'autres la géométrie des courbes rationnelles et des autres la géométrie et la classification des variétés.
Ce projet ambitionne de ressembler quelques mathématiciens, tous géomètres algébristes mais dont les intérêts et les compétences recouvrent ces trois aspects, réunis par la même philosophie et les mêmes besoin techniques.

Les grands thèmes du projet sont :

  • L'arithmétique des variétés de dimension supérieure sur les corps des fonctions
  • La géométrie des courbes rationnelles dans des variétés de dimension supérieure et leur relations avec la classification
  • La géométrie des variétés affines et ses relations avec les problèmes de classification.
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