Séminaire Fellows - Classification des fibrés plats et des fibrés de Higgs, l’histoire de deux espaces
Par Florent Schaffhauser, Fellow 2018
Les équivalences et correspondances de tous types sont omniprésentes en mathématiques : en effet, nous aimons savoir quand et comment identifier des objets et les mettre en relation, et ce thème constitue un domaine de recherche connu sous le nom de théorie des modules. Au sein de ce dernier, un sujet particulièrement intéressant est celui de l’étude de la forme des espaces de paramètres survenant dans les problèmes de classification, et il est parfois utile de remplacer un espace de paramètres par un autre, de même forme mais dont la géométrie est plus riche et plus propice aux calculs. Dans les faits, je me concentrerai sur un exemple spécifique de correspondance entre deux espaces distincts, à savoir la correspondance de Hodge non-abélienne. Celle-ci a été découverte dans les années 1980, et possède des ramifications dans de nombreux domaines mathématiques.
Elle est fondamentalement de nature géométrique différentielle, et a pour objectif de démonter l’existence de métriques spécifiques sur deux types d’objets différents : les fibrés plats et les fibrés de Higgs. Comme leur nom le suggère, ces derniers sont issus de la physique mathématique et rappellent les travaux de Peter Higgs, père du célèbre boson de Higgs dans le modèle standard de la physique des particules. Les équations issues de la théorie de jauge qui contrôlent cette théorie trouvent également leur origine dans la physique, puisqu’elles ont été identifiées par Nigel Hitchin à partir des équations d’auto-dualité à quatre dimensions. Les fibrés plats sont des objets plus classiques, dans le sens où ils sont utilisés pour formaliser géométriquement l’importance de l’espace des solutions d’une équation différentielle linéaire.
Après vous avoir présenté les origines de la correspondance de Hodge non-abélienne, je vous exposerai les principaux résultats de mon projet USIAS, mené à l’Institut de recherche mathématique avancée (IRMA) avec Olivier Guichard, qui consiste en une extension de la correspondance de Hodge non-abélienne à un certain type d’espaces singuliers, pouvant présenter une symétrie cachée. En fonction du temps restant et des questions spécifiques du public, je présenterai quelques applications ou me concentrerai sur les implications de ces recherches pour la cohomologie des groupes discrets.
Ce séminaire se voulant accessible à un large public possédant des connaissances de base en recherche scientifique, je me concentrerai sur la séquence d’idées ayant mené la communauté scientifique à mettre en lien les fibrés plats et les fibrés de Higgs, sans en donner toutefois les détails techniques.
- Plus d'informations sur Florent Schaffhauser et son projet USIAS : Théorie de Hodge non-abélienne pour une orbi-surface dianalytique.
